Representación del punto

En Acotado, el punto se representa por una única proyección, que proporciona información de dos de sus tres coordenadas (X e Y), añadiendo a esta proyección, entre paréntesis, el valor de su tercera coordenada (z), o, lo que es lo mismo, su cota o altura. Para la correcta identificación de estas coordenadas, se debe acordar una posición espacial como origen de coordenadas.

Alfabeto del punto

En Acotado, un punto solo puede estar en una de estas tres posiciones:

• Por encima del plano de referencia (de cota 0). En este caso, su cota o altura es positiva.
• En el mismo plano de referencia. En este caso, su cota es 0.
• Por debajo del plano de referencia. En este caso, su cota es negativa.

Veremos cómo, a partir de ahora, en las representaciones en acotado no será relevante indicar las coordenadas X e Y de los puntos, ni siquiera la posición del origen de coordenadas, ya que lo importante será la distancia relativa entre ellos. En los planos que utilizan el sistema acotado, lo habitual es que haya puntos con coordenadas de control (bases de medida), la mayoría de las veces de tipo geográfico (latitud, longitud o UTM).

Desnivel

El desnivel entre dos puntos se define como la diferencia algebraica entre las cotas de esos puntos.

Representación de la recta

Naturalmente, la proyección de una recta es la sucesión de las proyecciones de todos sus puntos.

En Acotado, para representar una recta, debemos añadir en la proyección de la misma la cota de al menos dos de sus puntos, para que quede completamente definida.

Si queremos encontrar la cota de un tercer punto de la recta conocida su cota, puede abatirse la recta sobre el papel (usando las cotas de los dos puntos conocidos). Tomando como punto de origen uno de los dos puntos de cota conocida, se lleva una perpendicular a la proyección de la recta sobre el otro, con longitud igual al desnivel entre ambos (es la misma construcción que en el Sistema Diédrico nos permite hallar la longitud real de un segmento o encontrar un punto a una distancia dada de otro en una recta).

En la figura siguiente, hemos abatido la recta tomando como base el punto C. El desnivel entre A y C es 4, así que encontramos A’ a una distancia 4 de A. Para encontrar los puntos de la recta de cota 1 (M) y cota 4 (N) basta con llevar desde la perpendicular graduada las cotas buscadas a la recta abatida y después a la proyección de la recta.

Traza de la recta

En Acotado, existe una única traza de una recta, y es el punto donde ésta corta al plano de referencia, o, lo que es lo mismo, el punto de cota 0 de la recta.

Para encontrarla, realizamos una construcción similar a la anterior para buscar el punto de cota 0. O bien podemos abatir la recta llevando perpendiculares con las cotas de los dos puntos conocidos y en sentidos diferentes, según el signo de la cota. Donde la recta abatida corta a la proyección se encuentra la traza de la recta.

Graduación de la recta

Graduar un segmento consiste en encontrar en él los puntos de cota entera, con el fin de poder realizar las construcciones y relaciones con otros elementos del dibujo. El procedimiento general para graduar un segmento es aplicar el Teorema de Thales sobre la recta abatida.

Pendiente e intervalo

El módulo, intervalo (i), o talud de una recta es la longitud proyectada de un segmento entre dos puntos de la misma cuya diferencia de cota sea la unidad. La pendiente (p) de una recta es la tangente del ángulo que esta forma con el plano horizontal y, por definición geométrica, es la inversa del intervalo (y por consiguiente el intervalo es el inverso de la pendiente). El intervalo es dimensional (longitud) pero la pendiente es adimensional, ya que es un cociente entre 1 como unidad de longitud y el intervalo.

Alfabeto de la recta

En Acotado, la recta puede tomar una de estas posiciones:

• Oblicua al plano de referencia. Tiene traza. Tiene pendiente e intervalo positivos.

• Paralela al plano de referencia (horizontal). No tiene traza. Su pendiente es 0 y su intervalo es infinito. Todos sus puntos tienen la misma cota.

• Perpendicular al papel (vertical). Se proyecta en un único punto (también su traza). Tiene pendiente infinita e intervalo 0.

Pertenencia de un punto a una recta

Para que un punto pertenezca a una recta, deben cumplirse dos condiciones:

• Que la proyección del punto esté situada en la proyección de la recta.
• Que la cota del punto se corresponda con la cota del unto de la recta sobre el que se sitúa.

En este ejemplo, el punto M pertenece a la recta, pero el N no, ya que, aunque su proyección está sobre la de la recta, la cota que tiene un punto de la recta en esa posición es -0,5, no 1.

Rectas que se cortan y rectas que se cruzan

Para que dos rectas de corten, deben cumplirse dos condiciones:

• Que sus proyecciones se corten.
• Que el punto de corte de las proyecciones tenga la misma cota para ambas rectas.

Si se cumple únicamente la primera condición, las rectas se cruzan.

En la figura, las rectas AB y CD se cortan, porque puede comprobarse que el punto M, intersección de sus proyecciones, tiene la misma cota (2) para ambas rectas.

En este otro ejemplo, las rectas AB y CD se cruzan, ya que el punto M tiene diferentes cotas para cada recta.

El plano

En Acotado, el plano solo puede representarse mediante una traza, así que para definirlo es necesario indicar además al menos uno de sus puntos. Pero lo habitual es que la traza del plano caiga fuera del papel (ya que es posible que trabajemos con elementos con cotas altas con respecto al plano de referencia). Por eso, la representación del plano suele realizarse mediante el trazado de una de sus rectas de máxima pendiente (lmp).

Para distinguir una recta de máxima pendiente de un plano de una recta normal, la representamos con una línea doble. Naturalmente, tal y como ocurría en Diédrico, la proyección de la lmp es perpendicular a la traza del plano (o lo que es lo mismo, la traza del plano es perpendicular a la lmp en el punto de cota 0 de ésta).

Es habitual que tengamos que reglar o graduar una lmp de un plano, cosa que se hace de la misma forma que con una recta normal.

Líneas de nivel del plano (horizontales)

Dentro de una superficie, se denomina línea de nivel (curva o recta) a la sucesión de puntos que tienen igual cota.

En un plano existen líneas horizontales que son los lugares geométricos de los puntos de ese plano que tienen igual cota a un valor dado. Estas horizontales son las líneas de nivel del plano. Para encontrarlas, basta con trazar perpendiculares a la lmp de ese plano por los puntos de la cota deseada (o lo que es lo mismo, paralelas a la traza del plano). En la figura anterior se muestran varias horizontales de cota entera del plano representado.

Cómo definir un plano

Un plano puede venir definido por:

• 3 puntos no alineados A, B y C. Para encontrar su traza y lmp, trazamos el segmento que une los puntos de mayor y menor cota. Luego encontramos en ese segmento el punto que tiene igual cota al tercer punto. Al unirlos obtenemos una horizontal del plano. Si graduamos el primer segmento podemos obtener más horizontales del plano y, por tanto, la lmp.

• Una recta y un punto no perteneciente a ella. La construcción es similar, basta localizar con la recta dos puntos, uno con cota superior al tercero y otro con cota inferior, y proceder como en el caso anterior.
• Dos rectas que se cortan. En este caso basta con unir dos pares de puntos de igual cota en ambas rectas, lo que nos dará rectas horizontales del plano. Si disponemos de las trazas de las rectas, como en la figura, la traza del plano es la recta que las une.

Pertenencia de un punto a un plano

La condición para que un punto pertenezca a un plano es que se encuentre en una horizontal del plano de la misma cota que el punto.

Pertenencia de una recta a un plano

La condición para que una recta pertenezca a un plano es que dos puntos de esa recta pertenezcan al plano.

Alfabeto del plano

En Acotado, las dos únicas situaciones excepcionales de un plano son:

• Plano Horizontal. No tiene traza. Todos sus puntos tienen igual cota. Suele representarse por un único punto.
• Plano vertical. Tiene traza, pero sus rectas de máxima pendiente son verticales, así que se proyectan en un punto. Solo se representa mediante su traza.

Intervalo y pendiente de un plano

El intervalo y la pendiente de un plano son los de cualquier recta de máxima pendiente del mismo.

Situar una recta en un plano dado un punto y su intervalo

Para que una recta pertenezca a un plano es indispensable que el intervalo de la recta sea mayor o igual que el del plano. En el ejemplo, se han encontrado las rectas r y s, que, pasando por P, tienen intervalo i en un plano de intervalo j (i>=j).

Para ello, tomamos un punto A de una de las horizontales del plano y trazamos un círculo de radio i, que nos definirá sobre la horizontal de la cota entera siguiente dos direcciones. En realidad, estamos dibujando la proyección de un cono de altura 1 con vértice en A (cota 2), y encontrando las generatrices que pertenecen al plano (las que van a los puntos de cota 1 del plano). Las paralelas a estas direcciones por el punto P son las soluciones buscadas.

Hacer pasar por una recta un plano dado su intervalo

Como se ha mencionado, es indispensable que el intervalo de la recta sea mayor o igual que el del plano.

En la figura, para encontrar el plano de intervalo j dada la recta AB, por uno de sus puntos (5) hemos trazado una circunferencia de radio j. Las tangentes a ella por el punto de cota anterior A(4) nos dan las direcciones de las horizontales de los planos buscados. En realidad, hemos trazado un cono de altura 1 y de vértice (5) y hemos encontrado las líneas horizontales del plano de cota 4, dibujando las tangentes a la base de ese cono (el círculo) por A.