Descripción y elementos

Una superficie cilíndrica es la engendrada por una recta que se mueve alrededor de otra fija paralela a ella. Esta última, la fija, se denomina eje, y la que se mueve – y sus diferentes posiciones – se denominan generatrices (g). Naturalmente, todas las generatrices de un cilindro son paralelas (entre sí y al eje).

Si el movimiento de la generatriz es circular (giro), entonces el cilindro es de revolución.

Cuando se corta una superficie cilíndrica de revolución por un plano (sección plana), la intersección obtenida es una elipse. Si además la sección es recta (perpendicular al eje) la intersección es un círculo.

En Geometría Descriptiva, nos solemos referir a un cilindro como la superficie cilíndrica delimitada por dos planos, que pueden ser o no paralelos. Las intersecciones de estos planos con la superficie cilíndrica son las bases. Si las bases no son paralelas, al cilindro se le denomina truncado.

La altura de un cilindro se define como la distancia, medida sobre una perpendicular, entre ambas bases (no se considera altura si el cilindro es truncado).

Si el cilindro es de revolución, y las bases son perpendiculares a su eje, el cilindro se denomina recto, y las bases son círculos. Si en un cilindro de revolución la base no es perpendicular al eje, dicha base es una elipse.

Generatrices de contorno

En los cilindros, igual que en los conos y en cualquier otra figura con superficies curvas, no proyectamos toda la superficie, sino únicamente su contorno. De forma particular, el contorno de un cilindro estará formado por las proyecciones de sus bases (que se regirán por los métodos vistos hasta ahora, basados en la proyección de ejes o diámetros conjugados), y por las proyecciones de las dos generatrices más exteriores, esto es, las llamadas generatrices aparentes, de borde o de contorno.

Hay que tener en cuenta que en las dos proyecciones diédricas las generatrices aparentes no se corresponden, esto es, las proyecciones de las rectas que representan las generatrices aparentes en una proyección no se corresponden con las de la otra proyección, y viceversa.

Las generatrices de contorno son tangentes exteriores comunes a las proyecciones de las bases.

Pertenencia de un punto a un cilindro

Para determinar si un punto pertenece a un cilindro, debemos comprobar que pertenece a una de sus generatrices.

Determinación de la sección plana y/o bases de un cilindro

En el espacio, para determinar los elementos de la sección plana de un cilindro (aplicable también en el caso de las bases), también puede usarse el Teorema de Dandelin, entendiendo el cilindro como un cono degenerado de generatrices paralelas.

En el caso de que el cilindro sea de revolución y su eje sea vertical o frontal, la distancia entre el eje y las generatrices de contorno se mostrará igual al radio del cilindro, pudiéndose encontrar con facilidad las bases (círculos).

Si el eje del cilindro de revolución es oblicuo, es necesaria una construcción auxiliar, que puede ser un abatimiento, un giro o un cambio de plano. Si la base está en H, abatimos el eje en la proyección horizontal.

Si el eje es oblicuo y el cilindro es recto, operamos de forma parecida a como lo hacíamos en el cono (abatimos ambas proyecciones del eje) para encontrar las bases (que serán iguales).

También podemos abatir el plano que contiene a una de las bases, dibujar esta en verdadera proporción (círculo) y desabatirla.

Para encontrar una sección plana de un cilindro, conocidas sus bases, por un plano oblicuo sin hacer ninguna construcción auxiliar, podemos trazar varias generatrices y cortarlas con el plano, obteniendo varios puntos que, unidos, proporcionarán la figura de contorno de la sección buscada (una elipse).

Al igual que ocurría en el prisma, la sección plana de un cilindro guarda relación de afinidad espacial con sus bases. Aplicado al diédrico, si el cilindro está apoyado por su base en H, la proyección horizontal guarda relación de afinidad plana con la base. La dirección de homología es la de las generatrices, y el eje es la traza del plano de corte.

También podemos resolver la sección plana de un cilindro por un plano oblicuo mediante un cambio de plano, convirtiéndolo en proyectante.

Plano tangente a un cilindro

Si un plano es tangente a un cilindro, contiene a una de sus generatrices (y, naturalmente, es tangente a sus bases). Si además una base está en H, la traza horizontal del plano será tangente a la proyección horizontal de la base.

Para encontrar un plano tangente a un cilindro por un punto de su superficie, basta con trazar la generatriz que contiene al punto, que proporcionará el punto de tangencia en la base (para trazar la tangente a una elipse existe un método gráfico, que podemos ver en el capítulo dedicado a la elipse).

Para encontrar los planos tangentes a un cilindro apoyado en H por un punto exterior A, trazamos la recta paralela a las generatrices que pase por A. Las tangentes a la base del cilindro desde la traza horizontal de esa recta son las trazas horizontales de los planos buscados. Las trazas verticales tienen la misma direccion que las proyecciones verticales de las generatrices.

Desarrollo del cilindro y transformada de la sección

El desarrollo de la superficie curva de un cilindro de revolución es un rectángulo, con un lado igual a la longitud de la generatriz y con otro igual a la longitud de la circunferencia base. Para encontrar la transformada de la sección, basta con llevar a algunas generatrices auxiliares los puntos de corte.

Si el cilindro es oblicuo, para desarrollarlo debemos primero trazar una sección recta (perpendicular al eje), que será un círculo, dividirlo en trozos iguales y trazar por los puntos de división las generatrices. Con las longitudes de estas generatrices y la de los trozos construimos paralelogramos, que serán una aproximación del desarrollo. Cuantas más divisiones hagamos, mejor será la aproximación.

Intersección de recta y cilindro

Si el cilindro es recto y de revolución, y esta apoyado en H, la solución del problema es evidente, ya que la proyección horizontal de la recta nos da directamente las proyecciones de los puntos intersección.

Para cualquier otro caso, para resolver la intersección de una recta y un cilindro, podemos seguir dos métodos, de igual forma que se hacía en el caso de los prismas: Contener la recta en un plano proyectante, cortar éste con el cilindro (obtenemos una elipse) y cortando la recta con esta figura, o, más conveniente (ver figura de abajo), contener la recta en un plano paralelo al eje, tal que la traza horizontal de este plano cortará a la base en dos puntos, que definen dos generatrices. Los cortes de estas con la recta son los puntos buscados.