Distancia entre dos puntos (longitud de un segmento)

La verdadera distancia entre dos puntos del espacio (o la longitud de un segmento, como se prefiera) no se manifiesta en verdadera magnitud en ninguna de las proyecciones diédricas, salvo que la recta sea horizontal o frontal. Como puede verse en esta figura siempre ocurre que r >= r₁ (AC > A₁C₁) y r >= r₂ (AC > A₂C₂).

Para manifestar esa magnitud, debe construirse una reproducción del segmento en verdadera longitud sobre el papel. Aunque hay varios métodos para hacerlo, el más sencillo es abatir el segmento en el papel alrededor de una de sus proyecciones.

Para ello, en la figura siguiente se han construido dos triángulos rectángulos. Los catetos del primero son la diferencia de alejamientos (c) y la proyección r₂, y la hipotenusa es r. En el segundo, los catetos son la diferencia de cotas (b) y r₁, y la hipotenusa es r. Llevarlo al sistema diédrico es muy simple; en la figura de la derecha hemos construido ambos triángulos rectángulos. En cualquiera de ellos obtenemos la longitud buscada r.

Si se necesita trasladar un segmento de una longitud dada sobre una recta (o, lo que es lo mismo, encontrar un punto a una distancia determinada de otro sobre la recta), no hay más que practicar una homotecia a uno de estos triángulos rectángulos. Se toma un punto cualquiera Q para abatir la recta y se marca la longitud deseada sobre ella. Luego se desabate el extremo sobre las proyecciones de la recta (punto B, en la figura).

Hay un método para encontrar la verdadera longitud de un segmento basado en el giro del mismo. Se ve en el siguiente capítulo.

Distancia entre punto y plano

La distancia entre un punto P y un plano α es la longitud del segmento que une el punto P con el punto de corte Q de la recta que pasa por P y es perpendicular al plano, así que el problema se reduce a dibujar esta recta y a calcular el punto de corte Q (ambos procedimientos ya se han visto en capítulos anteriores).

Distancia entre recta y plano

Si deseamos encontrar la distancia entre un plano y una recta paralela al mismo, basta con realizar la misma construcción anterior, tomando cualquier punto de la recta.

Distancia entre punto y recta

Para hallar la distancia de un punto P a una recta r, hay que dibujar un plano α perpendicular a la recta r y que contenga al punto P. El punto Q de corte de la recta r y el plano α es el segundo punto del segmento que define la distancia pedida.

Distancia entre dos rectas paralelas

Para hallar la distancia entre dos rectas paralelas r y s, hay que dibujar un plano perpendicular a ambas. Los puntos de corte P y Q de las rectas con el plano definen el segmento buscado.

Distancia entre dos planos paralelos

Para determinar la distancia entre dos planos paralelos, hay que dibujar una recta r perpendicular a ambos. Los puntos P y Q de intersección de r con los planos proporcionan el segmento buscado.

Mínima distancia entre dos rectas que se cruzan

Cuando dos rectas r y s se cruzan en el espacio, existe una mínima distancia entre ellas, y el segmento que contiene esa distancia está en una recta t perpendicular a ambas.

Para dibujarla, se debe tomar un punto A de r y por él dibujar una recta u paralela a s. Las rectas r y u definen un plano α que es paralelo a la recta s. Si hallamos la distancia entre α y s tomando un punto arbitrario B de s y determinando el punto C (distancia punto-plano) ya tenemos la distancia buscada BC.

Para situar además correctamente el segmento buscado, se dibuja una recta v paralela a s por C, que se corta con r en el punto T. La recta paralela a BC que pasa por T define el punto Q. El segmento TQ es el que contiene la mínima distancia buscada.