Relaciones métricas
El Hexaedro o Cubo es un poliedro regular cuya superficie está compuesta por 6 caras planas que son cuadrados (polígonos regulares de cuatro lados). Tiene 8 vértices y 12 aristas.
El hexaedro tiene 3 magnitudes fundamentales, que son:
- La longitud de la arista (a).
- La longitud de la diagonal de la cara (dc).
- La longitud de la diagonal de la figura (d).
A partir de cualquiera de ellas podemos encontrar las otras dos (si es necesario, practicando una homotecia).
Centro geométrico
El centro geométrico del Hexaedro se obtiene al cortar dos diagonales cualesquiera de la figura. También es el corte de dos rectas que unan centros de caras paralelas. Su distancia a las caras es a/2 y su distancia a los vértices es d/2. El centro geométrico también es el centro de gravedad de la figura.
Ejemplos de representación de hexaedros
Hexaedro apoyado en un plano de proyección
Esta posición del cubo es la más sencilla. Vemos el cuadrado de apoyo en verdadera magnitud. Basta con elevar sobre el plano de apoyo (H en el caso de la figura) una altura igual a la arista a del poliedro, dibujando los 4 vértices de la cara opuesta a la cara apoyada en cuatro perpendiculares a H.
Hexaedro con una diagonal vertical
Cuando el hexaedro tiene una diagonal vertical, el contorno de la proyección horizontal del poliedro es un hexágono regular, de forma que la distancia entre un vértice y el que está dos después es la diagonal de la cara. En proyección vertical, 3 vértices están a una altura de 1/3 de d, y otros 3 a 2/3 de d.
Hexaedro con dos caras proyectantes
En el ejemplo de la figura siguiente, el hexaedro tiene dos caras proyectantes horizontales y además tiene una arista en H. La distancia entre la arista apoyada y la paralela más alta es la diagonal de la cara. Las aristas perpendiculares a las caras proyectantes son horizontales y se ven en verdadera magnitud en la proyección horizontal.
Hexaedro apoyado en un plano oblicuo
En general, para dibujar un hexaedro apoyado en un plano, se debe dibujar sobre el plano abatido la cara contenida en dicho plano y, mediante perpendiculares al plano por los cuatro vértices, se levantan los otros cuatro con una altura igual al lado. Si el plano es proyectante, vemos esta altura en verdadera magnitud y si no lo es, como en la figura del ejemplo, debemos trasladarla por los métodos de distancia.
Secciones planas del Hexaedro
Como norma general, para hallar la sección que un plano produce en un poliedro, se debe cortar ese plano con todas las aristas del poliedro. Los puntos de corte, unidos, formarán un polígono contenido en el plano. En un hexaedro, un plano puede cortar 3, 4, 5 o 6 aristas.
En el ejemplo siguiente se muestra un hexaedro apoyado en H cortado por un plano oblicuo. Para la resolución, como la traza horizontal no toca la cara de apoyo, solo hemos cortado las aristas verticales y las de la cara superior para encontrar la sección. En este caso hemos obtenido un polígono de 5 lados, porque el plano corta al hexaedro en 5 aristas. Para ver la sección en verdadera magnitud habría que abatir el plano de corte y los vértices del polígono de la sección.
Si el hexaedro no está apoyado en H la resolución del ejercicio es similar, pudiendo utilizarse un medio auxiliar como un cambio de plano o un giro para conseguir posicionar el conjunto plano-poliedro en situación más conveniente.
Sección Principal. Esferas inscrita y circunscrita
Se denomina Sección Principal del hexaedro a la que le produce un plano que pasa por dos aristas paralelas no contiguas. Determina un rectángulo, cuyos lados menores miden a y cuyos lados mayores miden dc. Como el hexaedro tiene 12 aristas, hay 6 secciones principales diferentes.
La esfera inscrita al hexaedro es tangente a sus seis caras y su centro es el centro geométrico del hexaedro.
La esfera circunscrita al hexaedro pasa por sus ocho vértices, y su centro también es el centro geométrico del poliedro.
Los radios de ambas pueden extraerse del rectángulo de la sección principal.
Otras secciones especiales
Un plano que pase por el centro geométrico del cubo y es perpendicular a una de sus diagonales pro-duce en él una sección hexagonal regular, cuyos vértices son los puntos medios de seis de sus aristas, y cuyos lados miden la mitad de la diagonal de la cara dc.
Un plano que pasa por tres vértices del cubo que sean todos contiguos a un cuarto define una sección triangular regular cuyo lado es la diagonal de la cara dc. Cualquier plano paralelo a este que se acerque al cuarto vértice mencionado también produce una sección triangular regular.
Intersección con una recta
El procedimiento general para hallar la intersección de una recta con un sólido es contener la recta en un plano, cortar éste con el sólido, y finalmente hacer la intersección de la recta con la figura obtenida en esa sección.
En el caso del hexaedro, el plano auxiliar más conveniente es un plano perpendicular a una cara (normalmente a la cara de apoyo), ya que determinará una sección paralelepipédica en el hexaedro sumamente fácil de trazar.
Como aplicación de la regla general, también puede usarse un plano proyectante que contenga a la recta.
En la figura del ejemplo este plano además es proyectante horizontal, y se determina de forma inmediata. En otro caso se eligen dos puntos cualesquiera de la recta, por los cuales trazaremos paralelas a los lados, rectas que definirán el plano (aquí encontramos únicamente su traza horizontal, la vertical no nos hace falta).
Desarrollo y transformada de la Sección
El desarrollo de un hexaedro está compuesto por seis cuadrados adosados, correspondientes a las caras del poliedro. Realizar la transformada de la sección consiste en llevar a ese desarrollo el contorno de la sección obtenida al intersecar la figura con un plano.
En la parte derecha de la figura tenemos el desarrollo y la transformada de la sección por un plano oblicuo. Como todas las aristas las tenemos en verdadera magnitud en una u otra proyección, es fácil trasladar las distancias a la transformada.
