Designación y Representación del Plano – Trazas del Plano

En diédrico, el plano se designa mediante una letra griega (α, β, ϕ …).

En diédrico, un plano no puede representarse por la proyección de sus puntos (ya que un plano proyectado sobre otro también es un plano), sino que se hace mediante sus trazas. Las trazas de un plano son las rectas obtenidas por la intersección del mismo con los planos de proyección H y V.

En el sistema diédrico, las trazas de un plano se designan con las letras h y v (minúsculas) seguidas de la letra griega que designa al plano en forma de subíndice.

Las dos trazas de un plano α son dos rectas, una perteneciente a V (V_α) y otra a H (H_α), que se cortan en un punto de la LT. Ese punto es el denominado Vértice del plano.

Pertenencia de recta a plano

Sabemos que las trazas H_r y V_r de una recta r son los puntos de corte de la recta con, respectivamente, los planos de proyección H y V. Y acabamos de ver que la intersección de un plano α con el plano de proyección H es su traza h_α, y con el plano de proyección V es v_α.

Puede deducirse que, si la recta r pertenece al plano α, las trazas de r deben estar obligatoriamente sobre las trazas de α, ya que todos los puntos de r deben a su vez pertenecer a α.

Planos paralelos

Uno de los axiomas fundamentales de la geometría nos dice que cuando dos planos paralelos son cortados por un tercero, se obtienen como intersección dos rectas paralelas.

Si consideramos que las trazas son intersecciones con terceros planos (H y V) podemos deducir que las trazas de planos paralelos también serán paralelas dos a dos.

Rectas notables del plano

Se denominan rectas notables aquellas que cumplen ciertas condiciones geométricas especiales. Son rectas notables de un plano las horizontales del plano y las frontales de plano, así como las de máxima pendiente y máxima inclinación.

Horizontales y Frontales de un plano

En apartados anteriores, hemos visto que en las rectas horizontales la proyección vertical es paralela a la LT y no existe traza horizontal (es impropia). Si la recta horizontal r pertenece al plano α, su traza V_r estará sobre vα (como acabamos de ver). Para que se cumpla que r no tenga traza horizontal, su proyección horizontal r₁ debe ser paralela a la traza horizontal del plano hα.

Análogamente, en las rectas frontales s del plano α la proyección horizontal es paralela a la LT (característica común de las rectas frontales) y, al ser su traza vertical impropia (en el infinito), su proyección vertical s₂ es paralela a la traza vertical del plano v_α.

Pertenencia de punto a plano

Para determinar si un punto pertenece a un plano, podemos utilizar una recta auxiliar que, conteniendo al punto, esté contenida a su vez en el plano.

Si se hace uso de una recta auxiliar horizontal o frontal (por comodidad, dada la facilidad de su traza-do) podemos discernir si el punto pertenece al plano. En la figura, el punto A pertenece al plano α porque lo hace a la recta r horizontal del mismo (o a la frontal s, en el caso de la construcción de la derecha).

De igual forma, para forzar la pertenencia de un punto a un plano, basta con hacerlo pertenecer a una de las horizontales o frontales del mismo.

Formas de determinar un plano

Un axioma básico de la geometría dice que tres puntos no alineados en el espacio determinan un único plano, y otro axioma manifiesta que dos puntos determinan una única recta.

Podemos definir un plano usando cualquiera de estos conjuntos de datos:

• Tres puntos no alineados.
• Una recta y un punto no perteneciente a ella.
• Dos rectas que se cortan.

La figura siguiente muestra todos esos supuestos: A partir de 3 puntos no alineados A, B y C se encuentra las rectas r (AB) y s (BC). Uniendo las trazas horizontales y verticales de ambas rectas obtenemos las trazas del plano que las contiene (y que por tanto también contiene a los tres puntos).

Líneas de Máxima Pendiente (lmp) y de Máxima Inclinación del Plano (lmi)

La línea de máxima pendiente (lmp) de un plano es aquella que forma el mayor ángulo posible con el plano de proyección horizontal H.

Puede comprobarse en la construcción que su proyección horizontal r₁ es perpendicular a la traza horizontal h_α del plano.

La línea de máxima inclinación (lmi) del plano es aquella que forma el mayor ángulo posible con el plano de proyección vertical V. Su proyección vertical r₂ es perpendicular a la traza vertical v_α del plano.

Hay infinitas lmp y lmi en un mismo plano, pero un plano puede quedar definido inequívocamente únicamente por una lmp ó una lmi, conociendo la relación geométrica de perpendicularidad mencionada entre las proyecciones de éstas y las trazas del plano.

Alfabeto del plano

El Alfabeto del plano es la relación de posibles posiciones que un plano puede tomar en el espacio con respecto a los planos de proyección, a los bisectores y a la LT.

Planos Proyectantes

Los planos proyectantes son planos perpendiculares a los planos de proyección H y V, así que una de sus trazas es perpendicular a la LT.

El plano proyectante horizontal es perpendicular al plano de proyección H, y su traza vertical es perpendicular a la LT.

El plano proyectante vertical es perpendicular al plano de proyección V, y su traza horizontal es perpendicular a la LT.

Los planos proyectantes tienen una posición muy cómoda para realizar construcciones auxiliares, ya que todo lo que contienen se proyecta horizontal o verticalmente (dependiendo de a qué planos sean perpendiculares) directamente sobre una de sus trazas.

Más adelante veremos que uno de los procedimientos habituales para resolver construcciones es convertir planos oblicuos en proyectantes mediante alguna de las transformaciones que se verán también en este bloque (giros, abatimientos, cambios de planos…).

Planos paralelos a los planos de proyección: Plano Horizontal y Plano Frontal

Los planos paralelos a los de proyección son casos particulares de planos proyectantes. Solo tienen una traza.

El plano paralelo al plano de proyección horizontal se denomina plano horizontal. Como no corta a H, no tiene traza horizontal, y su traza vertical es paralela a la LT.

El plano paralelo al plano vertical de proyección se denomina plano frontal. Como no corta a V, no tiene traza vertical, y su traza horizontal es paralela a la LT.

Planos de perfil

El plano de perfil es perpendicular a la LT y, por tanto, también lo es a H y a V (también se denomina plano doblemente proyectante). Sus trazas coinciden en el papel en una misma perpendicular a la LT. Para representar cualquier figura contenida en él, es necesaria una vista de perfil auxiliar, tal y como vimos que ocurría con las rectas de perfil.

Planos perpendiculares al Primer Bisector

En los planos perpendiculares al primer bisector las dos trazas forman el mismo ángulo con LT (esto puede justificarse mediante construcciones de perpendicularidad entre recta y plano, pero esto se verá más adelante en este mismo bloque).

Planos perpendiculares al Segundo Bisector

Los planos perpendiculares al segundo bisector tienen sus dos trazas solapadas, formando ángulos suplementarios con la LT.

Planos que pasan por la Línea de Tierra

Los planos que pasan por la LT tienen sus dos trazas coincidentes con ella, así que se necesita un punto auxiliar que pertenezca al plano para terminar de definirlo. Además del punto, a su pie se hace una indicación especial mediante dos marcas paralelas por debajo de la LT.

Planos paralelos a la LT

Los planos paralelos a la LT tienen sus dos trazas paralelas a ella.