Abatimiento de un plano

En la mayoría de los casos, la figura plana cuyas proyecciones queremos representar está contenida en un plano oblicuo, de forma que sus proyecciones estarán deformadas, siendo imposible trazarlas directamente.

Como regla general, para poder representar las proyecciones diédricas de una figura plana cuya construcción geométrica conozcamos (como un polígono o una curva cónica) debemos realizar esta construcción en un plano paralelo al papel, y luego trasladarla al plano que realmente la contiene.

El método común para realizar esto es abatir el plano que contiene a la figura hasta hacerlo coincidir con el papel o hasta colocarlo paralelo a él, de forma que podamos ver la figura en su verdadera magnitud y forma. Una vez construida la figura mediante los procedimientos habituales de la geometría plana sobre este plano abatido, realizamos la operación contraria, esto es, desabatimos la figura sobre el plano original para obtener las dos proyecciones diédricas.

El abatimiento de un plano consiste en girarlo alrededor de una de sus trazas (aunque en ciertos casos este giro puede hacerse alrededor de una recta paralela a alguna de ellas). Por comodidad, se suele elegir la traza horizontal pero no es obligatorio, puede hacerse también alrededor de la vertical. A la traza elegida como eje del abatimiento se le denomina charnela.

Si elegimos como charnela la traza horizontal hα, para indicar el abatimiento, representamos sobre el papel la traza vertical del plano una vez abatida (vα’). Los elementos abatidos (rectas, puntos, trazas) se suelen denotar con un apóstrofe (‘) o mediante paréntesis.

Para realizar el abatimiento del plano alrededor de su traza horizontal (figura anterior), se toma un punto arbitrario A del plano que esté situado en el plano vertical (o, lo que es lo mismo, que esté en la traza vertical del plano). Como A gira alrededor de la charnela (h_α) describiendo un círculo perpendicular a ella, el punto abatido A’ estará sobre la misma perpendicular a ella que la proyección horizontal A₁. Y como el punto A está en v_α, la distancia del vértice al punto (OA₂) es la misma que la del vértice al punto abatido (OA’). Obtenido A’ se traza v_α’, traza vertical abatida del plano.

Abatimiento de una recta perteneciente a un plano

Si una recta pertenece a un plano y tenemos sus trazas, para representarla abatida basta con abatir su traza vertical, sabiendo que la distancia desde el vértice a ella es la misma en la traza v_α que en la traza abatida v_α’.

Abatimiento de puntos del plano

Si queremos abatir puntos de un plano (o segmentos definidos por dos puntos), basta con incluirlos en rectas horizontales del plano, que en el plano abatido aparecerán siempre paralelas a la charnela. En la figura, hemos incluido el punto P en una recta r horizontal del plano. Como r es horizontal, tanto r’ (r abatida) como r₁ son paralelas a la charnela h_α.

Existe un método para abatir puntos sin necesidad de abatir el plano. Al girar, el punto P describe un círculo alrededor de la charnela h_α. Con la cota h del punto y la distancia de P₁ a la charnela se halla m, que es la distancia desde P a la charnela (o lo que es lo mismo, el radio de giro). Esta distancia en la que hay entre el punto abatido P’ y la charnela.

Abatimiento de segmentos

Para abatir un segmento contenido en un plano, basta con abatir los dos puntos que lo delimitan.
En este otro ejemplo se han abatido dos puntos B y P siguiendo el mismo método, pero dibujando las líneas horizontales auxiliares con líneas de trazos.

Desabatimiento de puntos, rectas y figuras planas

Una vez determinada la figura plana en el plano abatido, para desabatir la figura y encontrar sus proyecciones basta con desabatir todos sus vértices y lados. El procedimiento es, igualmente, situar los primeros en rectas horizontales del plano. En este ejemplo se ha dibujado el polígono regular en el plano abatido y se han desabatido todos los vértices mediante horizontales del plano (dibujadas como líneas auxiliares de trazos) para encontrar sus proyecciones.

Abatimiento de planos proyectantes

El abatimiento de un plano proyectante es una simplificación del caso anterior. Por comodidad siempre se toma como charnela la traza perpendicular a la línea de tierra, de manera que al abatir el plano la traza que gira queda sobre la línea de tierra. En el ejemplo, se muestran dos puntos abatidos, uno A perteneciente a vα (cuyo abatido pertenecerá a vα’) y otro B.

Abatimiento de planos paralelos a la LT

Si el plano es paralelo a la línea de tierra, el abatimiento se realiza mediante una construcción auxiliar de perfil. Esta construcción permitirá averiguar la distancia real entre las trazas del plano y así dibujar la traza abatida. En el ejemplo, se incluyen dos puntos A y B del plano y sus abatidos. En la figura de la izquierda el abatimiento se ha realizado hacia H y en la figura de la derecha se ha realizado hacia V. En ambos casos se ha oscurecido el plano abatido.

Abatimiento y desabatimiento de una circunferencia

Ya se ha comentado que las proyecciones de circunferencias o arcos de circunferencias contenidos en planos oblicuos son elipses o arcos de elipses.

Para realizar el desabatimiento de una circunferencia debemos marcar en la figura abatida uno o dos pares de diámetros perpendiculares, que se convertirán a su vez en diámetros conjugados de las elipses proyectadas, lo que permitirá trazar las curvas resultantes con facilidad. Además, por comodidad, uno de esos diámetros (CD en la figura) puede ser paralelo a la charnela, lo que provocará que en la proyección horizontal del círculo se obtengan los ejes de la elipse.

Afinidad entre figura abatida y proyección

En el capítulo anterior vimos que existe una relación de afinidad entre las dos proyecciones diédricas de una figura plana.

Puede comprobarse que existe además una afinidad que relaciona la figura abatida con una de las proyecciones (la horizontal en el caso de que la charnela sea la traza horizontal y la vertical si la charnela es la traza vertical).
En esta afinidad, el eje es la propia charnela y la dirección su perpendicular. El uso de esta afinidad puede simplificar el trazado de la proyección a partir de la figura abatida o viceversa.

Método general para representar figuras planas situadas en planos oblicuos

En general, para la representación de las dos proyecciones de figuras planas, el procedimiento a seguir es el siguiente:

• Determinadas las condiciones del problema, localizar las trazas del plano donde se encuentra la figura.
• Tomar una traza como charnela y abatir el sector del plano comprendido en el primer diedro.
• Sobre este sector del plano abatido, dibujar la figura plana abatida, en verdadera magnitud y proporciones.
• Desabatir los puntos, rectas y curvas que definen la figura, obteniendo así las proyecciones deseadas (para ello puede usarse la afinidad mencionada o la pertenencia a horizontales del plano).