Igualdad

Dos figuras se denominan iguales cuando todos sus ángulos, lados y vértices coinciden al ser superpuestas. O lo que es lo mismo, cuando todos sus elementos tienen idéntica forma, disposición y magnitud.

Para construir una figura igual a otra (para copiar una figura) pueden seguirse varios métodos:

• Por triangulación. La figura se descompone en triángulos, los cuales pueden trasladarse con ayuda de un compás (ver capítulo dedicado a los ángulos).
• Por coordenadas. Se proyectan los vértices sobre un sistema cartesiano de coordenadas, que permitirá reproducir la figura en otro sistema similar trasladado a otro lugar.

• Por transporte angular o rodeo. Se transportan los ángulos y las longitudes de los lados de forma consecutiva hasta cerrar la figura.
• Por radiación. Similar al de triangulación, pero los triángulos proceden de radiar un punto interior arbitrario hacia los vértices de la figura.

• Por traslación. Consiste en aplicar un mismo vector de traslación a todos los vértices de la figura (paralelas de la misma longitud).
• Por cuadriculación. Consiste en colocar una cuadrícula sobre el original y trazar la figura igual en una cuadrícula blanca similar.

Semejanza

Dos figuras guardan relación de semejanza cuando tienen sus ángulos iguales y cuando sus lados son paralelos y de magnitudes proporcionales.

Dos figuras semejantes son también homotéticas (ver el capítulo de Homotecia en esta obra).

Equivalencia

Dos figuras son equivalentes cuando, con distinta forma, tienen igual superficie (encierran la misma área). En la figura de la izquierda, los triángulos ABC y ABD son equivalentes (se considera la base al lado AB y la altura la distancia h, que es igual en ambos). En la de la derecha, un triángulo queda dividido en otros cuatro equivalentes entre sí cuando se unen los puntos medios de los lados.

Otro ejemplo: Dado el cuadrado ABCD, si quiere hallarse un triángulo equivalente sabiendo que uno de sus lados vale 3/2 del lado del cuadrado, igualando las áreas tenemos: AB² = AE * h / 2, o lo que es lo mismo, AB² = 3/2 AB * h / 2. De aquí se obtiene h = 4/3 AB. O sea, la altura h del triángulo debe ser 4/3 del lado para que se cumpla que el área sea igual en ambas figuras. Trazando la paralela a AB a una distancia de 4/3 * AB, sabemos que cualquier punto O tomado sobre ella nos dará un triángulo equivalente al cuadrado.

La construcción del cuadrado equivalente al círculo se basa en la rectificación de la semicircunferencia y en la media proporcional de dos segmentos. Se obtiene que l (lado del cuadrado) es igual a la raíz cuadrada de π*r² (área del círculo).

La construcción del círculo equivalente a una elipse también se basa en la media proporcional de segmentos.