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Poliedros III - Exaedro (***)

El Exaedro o Cubo es un polígono regular que tiene las siguientes características:
  • Su superficie está compuesta por 6 caras planas que son cuadrados.
  • Tiene 8 vértices.
  • Tiene 12 aristas.

Icono IDevice Relaciones métricas
El exaedro tiene 3 magnitudes fundamentales, que son:
  • La longitud de la arista a.
  • La longitud de la diagonal de la cara dc.
  • La longitud de la diagonal de la figura d.

A partir de cualquiera de ellas, practicando una homotecia a una figura como la siguiente (de dimensiones indiferentes) podemos encontrar las otras dos:

 

 

 

Icono IDevice Centro geométrico
Se obtiene al cortar dos diagonales cualesquiera de la figura. Tambien si se cortan dos rectas que unan centros de caras paralelas.

Centro geométrico del exaedro
Icono IDevice Exaedro apoyado en un plano de proyección
Esta posición del cubo es la más sencilla. Vemos el cuadrado de apoyo en verdadera magnitud. Basta con elevar sobre el plano de apoyo (H en el caso de la figura) una altura igual a la arista a del poliedro, dibujando los 4 vértices de la cara opuesta a la cara apoyada en cuatro perpendiculares a H.

 

Exaedro apoyado en H

 

 

Icono IDevice Exaedro con una diagonal vertical
Cuando el exaedro tiene una diagonal vertical, el contorno de la proyección horizontal del poliedro es un hexágono regular, de forma que la distancia entre un vértice y el que está dos después es la diagonal de la cara. En proyección vertical, 3 vértices están a una altura de 1/3 de d , y otros 3 a 2/3 de d.

Cubo con ua diagonal vertical
Icono IDevice Exaedro con dos caras proyectantes
En este caso además tiene una arista en H. La distancia entre la arista apoyada y la paralela más alta es la diagonal de la cara. Las aristas perpendiculares a las caras proyectantes son horizontales y se ven en verdadera magnitud en la proyección horizontal.

Exaedro con dos caras proyectantes verticales
Icono IDevice Exaedro apoyado en un plano
En general, para dibujar un exaedro apoyado en un plano, se debe dibujar sobre el plano abatido la cara contenida en dicho plano y, mediante perpendiculares al plano por los cuatro vértices, se levantan los otros cuatro con una altura igual al lado. Si el plano es proyectante, vemos esta altura en verdadera magnitud y si no lo es, como en la figura del ejemplo, debemos trasladarla por los métodos de distancia:

Exaedro apoyado en un plano oblicuo
Icono IDevice Secciones planas del Exaedro
Como norma general, para hallar la sección que un plano produce en un poliedro, se debe cortar ese plano con todas las aristas del poliedro. Los puntos de corte, unidos, formarán un polígono contenido en el plano. En un exaedro, un plano puede cortar 3, 4, 5 ó 6 aristas.

En el ejemplo siguiente se muestra un Exaedro apoyado en H cortado por un plano oblícuo. Para la resolución, como la traza horizontal no toca la cara de apoyo, solo hemos cortado las aristas verticales y las superiores levantadas para encontrar la sección. En este caso hemos obtenido un polígono de 5 lados, porque el plano corta al exaedro en 5 aristas. Para ver la sección en verdadera magnitud habría que abatir el plano y los vértices del polígono sección (no se ha incluido).

Exaedro cortado por un plano oblicuo



Si el exaedro no está apoyado en H la resolución del ejercicio es similar, pudiendo utilizarse un medio auxiliar como un cambio de plano o un giro para conseguir posicionar el conjunto plano-poliedro en situación más conveniente.
Icono IDevice Sección Principal. Esferas inscrita y circunscrita.
Se denomina Sección Principal del exaedro a la que produce un plano que pasa por dos arista paralelas no contiguas. Determina un trectángulo, cuyos lados menores miden a y cuyos lados mayores miden dc. Como el exaedro tiene 12 aristas, hay 6 secciones principales diferentes.

La esfera inscrita al exaedro es tangente a sus seis caras y su centro es el centro geométrico del exaedro.
La esfera circunscrita al exaedro pasa por sus ocho vértices, y su centro también es el centro geométrico del poliedro.
Los radios de ambas pueden extraerse del rectángulo de la sección principal.

Sección principal
Icono IDevice Otras secciones especiales
Un plano que pase por el centro geométrico del cubo y es perpendicular a una de sus diagonales produce en él una sección hexagonal regular, cuyos vértices son los puntos medios de seis de sus aristas, y cuyos lados miden la mitad de la diagonal de la cara dc.

 


 

Un plano que pasa por tres vértices del cubo que sean todos contiguos a un cuarto define una secion triangular regular cuyo lado es la diagonal de la cara dc. Cualquier plano paralelo a este que se acerque al cuarto vértice mencionado también produce una sección triangular regular.

 

 

 

Icono IDevice Intersección con una recta
El procedimiento general para hallar la intersección de una recta con un sólido es contener la recta en un plano, cortar éste con el sólido, y finalmente hacer la intersección de la recta con la figura obtenida en esa sección.

En el caso del exaedro, el plano auxiliar más conveniente es un plano perpendicular a una cara (normalmente a la cara de apoyo), ya que determinará una sección paralelepipédica en el exaedro sumamente fácil de trazar. Como regla general, también puede usarse un plano proyectante que contenga a la recta.

En el caso de la figura del ejemplo este plano además es proyectante horizontal, y se determina de forma inmediata. En otro caso se eligen dos puntos cualesquiera de la recta, por los cuales trazaremos paralelas a los lados, rectas que definirán el plano (aquí encontramos únicamente su traza horizontal, la vertical no nos hace falta).
Icono IDevice Desarrollo y Transformada de la Sección
El desarrollo de un exaedro está compuesto por seis cuadrados adosados, correspondientes a las caras del poliedro.

Realizar la transformada de la sección consiste en llevar a ese desarrollo el contorno de la sección obtenida al intersectar la figura con un plano. En la figura siguiente, se ha trazado la transformada de la sección plana de la figura 10.

En la parte derecha de la figura tenemos el desarrollo y la transformada de la sección por un plano oblícuo. Como todas las aristas las tenemos en verdadera magnitud en una u otra proyección, es fácil trasladar las distancias a la transformada.

Desarrollo del exaedro




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