Definición

La Inversión es una transformación geométrica plana en la cual los puntos relacionados o transformados se denominan inversos, y cumplen las siguientes condiciones:

• Los puntos inversos están alineados con un tercero fijo llamado centro de la Inversión (O).
• El producto de los segmentos trazados desde los puntos inversos al centro es una constante llamada potencia de la inversión (k).

Aplicando el concepto de potencia de un punto con respecto a una circunferencia (ver capítulo de Polaridad) podemos deducir que dos pares de puntos inversos se encuentran siempre en una misma circunferencia:

Una inversión puede definirse dando:

• El centro O y la constante k.
• El centro O y un par de puntos inversos A-A’ (esto es lo más común).
• Dos pares de puntos inversos A-A’ y B-B’.

Propiedades

Si el centro de una inversión coincide con el centro de una circunferencia, existen dos autoinversiones que relacionan la circunferencia consigo misma. En la primera, k=r², y en la segunda k=-r² (figura de la derecha).

Inversa de una recta

Todas las rectas que pasan por un centro de inversión son invariantes (sus inversas coinciden con sí mismas), pero los puntos no son dobles.

La inversa de una recta, si el centro de inversión O no está en ella, es una circunferencia que pasa por el centro de inversión. En la figura, se han localizado, a partir de un par de puntos inversos A-A’, varios puntos más B, C’ y D’, haciendo uso de la propiedad de la potencia (por ejemplo, para hallar B’ hemos encontrado la circunferencia que pasa por A, A’ y B).

En esta otra figura vemos cómo podemos encontrar directamente su centro: trazamos la perpendicular desde O hasta la recta, dando M. Aplicamos la inversión a M para encontrar M’. OM’ es diámetro de la circunferencia.

Si k > 0, los puntos inversos están al mismo lado de 0, y si k< 0 los puntos inversos están en distintos lados de O.

Inversa de una circunferencia

Como extensión del caso anterior (y por la propiedad de reversibilidad que tiene la inversión), la inversa de una circunferencia, si el centro de inversión está en su contorno, es una recta (ver figuras anteriores).

Si el centro de inversión está fuera de la circunferencia, su inversa es otra circunferencia tal que también guarda relación de homotecia con la original (aunque esa homotecia no aplica a sus centros). Evidentemente (y justificable también por la definición de potencia) las tangentes exteriores comunes a ambas circunferencias pasan por el centro de la inversión.

Tangencias e Inversión

Antes de abordar este apartado, es necesario haber repasado el correspondiente a Tangencias en el capítulo de geometría básica.

La Inversión presenta una propiedad especial en cuanto a las figuras tangentes: Si dos figuras son tangentes en un punto T, sus inversas son tangentes en el punto T’, inverso de T.

De esta forma, se pueden dar, entre otros, estos casos:

• Dos circunferencias tangentes, en una inversión en la cual el centro de inversión no esté en ninguna de ellas, se convierten en otras dos circunferencias también tangentes, siendo el punto de tangencia el inverso del primero.

• Dos circunferencias tangentes, en una inversión en la cual el centro está sobre el contorno de una de ellas, se convierten en una recta tangente a una circunferencia. En el ejemplo (figura de la derecha), partiendo de un par de puntos inversos A-A’, primero hemos encontradla la recta inversa de la primera circunferencia, y para encontrar la inversa de la segunda hemos aplicado la construcción de la figura que se muestra al principio de esta página: hemos tomado C y encontrado C’; la paralela al radio de C por C’ proporciona el centro. Puede comprobarse que las figuras inversas comparten el punto de tangencia T’, inverso de T. Se han obviado los trazos auxiliares para clarificar la figura.

• Una recta tangente a una circunferencia, si el centro de inversión está en la circunferencia, se convierten en una circunferencia tangente a una recta (ambas cambian su forma).
• Una recta tangente a una circunferencia, si el centro de inversión está en la recta, se convierten en una recta tangente a una circunferencia (ambas conservan su forma).

Basándonos en esta propiedad, pueden resolverse problemas de tangencias de circunferencias aplicando inversiones que las convierten en rectas. Algunos ejemplos:

• Circunferencia tangente a otra de centro O y a una recta r y que pasa por un punto exterior P: Trazamos por P una tangente a la circunferencia, que nos da T. Definimos una inversión de centro P y constante igual a PT² en la cual la circunferencia es figura doble (su inversa es ella misma). La circunferencia de centro P y radio PT también será doble (y además de puntos dobles) según esa misma inversión. La inversa de la recta r es una circunferencia que pasa por P y por los puntos dobles A y B, cuyo centro C encontramos. Trazamos una la tangente común a esta circunferencia y a la de centro O. Los puntos de tangencia son M y N. La inversa de esta recta es la solución del problema, ya que es tangente a la circunferencia de centro O (que es doble) y a la inversa de la circunferencia de centro C (ella misma). Los puntos N’ y M’, inversos de M y N, son puntos de la solución junto con P. En resumen, hemos construido una inversión de tres elementos: dos circunferencias y una recta (tangente a ambas) se han convertido en tres circunferencias, una de ellas tangente a las otras dos. La solución mostrada es una de las cuatro posibles; las otras tres resultan de tomar las otras tres tangentes posibles entre la circunferencia de centro O y la de centro C.

• Circunferencia tangente a una recta r y a una circunferencia de centro O en un punto P de ésta: En la figura de la izquierda, hemos definido una inversión positiva de centro C que convierte la circunferencia en la recta r (A y A’ son inversos). Hallamos P’, el inverso de P, de forma que la circunferencia que estamos buscando debe ser tangente a la recta en P’, así que su centro está en la perpendicular a r por P’.Y como también es tangente a la circunferencia por P, el centro debe estar alineado con OP. En la figura de la derecha hemos encontrado la otra solución aplicando una inversión negativa.

• Circunferencia tangente a una circunferencia de centro O y a una recta r en un punto P de ésta: Sabemos que las soluciones tienen su centro en la perpendicular a la recta por el punto P. Para hallar la primera solución, hemos definido una inversión positiva de centro C1, que relaciona la circunferencia y la recta. Hallamos P1′ según esta inversión, y como sabemos que la solución es tangente por P’, su centro está alineado con OP1′. Para encontrar la segunda solución (dibujada parcialmente) hemos repetido la operación con una inversión negativa de centro C2.

• Circunferencia tangente a dos dadas de centros C1 y C2 y que pasa por un punto exterior P: Trazamos una tangente por P a una circunferencia, obteniendo T. Definimos una inversión de centro P y constante igual al cuadrado de PT, lo que hará que la circunferencia de centro C1 sea doble. Trazamos la circunferencia de centro P y radio PT, que también será doble. Hallamos la inversa de la circunferencia cuyo centro es C2. Podemos usar para ello un par de puntos inversos (C-C’) en la circunferencia de centro C1. Trazamos una tangente exterior a C1’ (C1) y a C2’ y hallamos su inversa. Para ello también hemos usado C-C’. Como la recta es tangente a C1’ y a C2’, su inversa será tangente a C1 y C2, por lo que es una solución de las buscadas. Para hallar los puntos de tangencia, unimos su centro con los centros de C1 y C2. Las otras 3 soluciones se obtienen tomando las otras tangentes a C1’ y C2’ (la otra exterior y las dos interiores).