Conceptos de Proyectividad

El conjunto de rectas o rayos del espacio que pasan por un punto C (centro de proyección) se denomina radiación o haz de rectas.

Proyectar un punto sobre un plano es trazar una recta que, con origen en el centro de proyección y pasando por el punto, llegue hasta el plano. Proyectar una figura supone proyectar cada uno de sus vértices y aristas.

• Si el centro de proyección es propio, la proyección se denomina central o cónica.
• Si el centro de proyección es impropio, los rayos son paralelos, y la proyección se denomina cilíndrica o paralela.
• Un caso particular de la proyección cilíndrica es la ortogonal, en la cual los rayos son perpendiculares al plano de proyección (si no es ortogonal, es oblicua).

Las vistas llamadas perspectivas son en realidad proyecciones oblicuas de figuras tridimensionales sobre el plano del papel. Dependiendo de dónde se tome el centro de proyección se obtendrán perspectivas de diferentes tipos.

Recordemos algunos conceptos básicos que nos serán de utilidad (ver capítulo 1.7 de este libro):

• La intersección de dos rectas (si se cortan) es un punto.
• La intersección de una recta y un plano (si se cortan) es un punto.
• La intersección de dos planos (si se cortan) es una recta.

Homología espacial

Si suponemos una proyección cónica y una serie de rayos (radiación o haz) que parten desde un centro de proyección, al cortar estos rayos por un plano se obtienen los vértices de una figura plana. Si cortamos el haz por un por un segundo plano, obtenemos una segunda figura plana. Ambas figuras guardan relación de Homología.

La Homología es una relación geométrica espacial que relaciona figuras planas situados en diferentes planos mediante las siguientes propiedades:

• Los puntos homólogos están alineados con un fijo llamado centro de la homología (el centro de proyección).
• Las rectas homólogas se cortan en un punto de una recta fija llamada eje de la homología. Esta recta es la intersección de los dos planos que contienen a las figuras homólogas.

Elementos de la Homología

En esta figura se observan los elementos de la homología espacial: planos de las figuras, centro y eje de la homología. Si miramos la figura de perfil, de forma que los planos de las figuras y el eje queden perpendiculares al papel, vemos además dos rectas L y K, también perpendiculares al papel, cuyo significado se explica a continuación.

• C es el centro de la Homología.
• Como ya se ha mencionado, el eje (que en la figura de la derecha aparece como un punto) es la recta intersección de los dos planos α y β, en los que están las dos figuras homólogas.
• El plano paralelo al β que pasa por C corta al plano α en la recta L. Podemos comprobar que los puntos homólogos de esta recta están en el infinito (al unirlos con C mediante una recta, ésta nunca corta al plano α). A esta recta L se le denomina como primera recta límite.
• El plano paralelo al α que pasa por C corta al β en la recta K. Igualmente, los puntos homólogos de esta recta también son impropios (al unirlos con C con una recta, ésta nunca corta al plano β ). A la recta K se le denomina la segunda recta límite.

O sea, L es la recta del plano α cuyos homólogos están en el infinito (son impropios), y K es la recta del plano β cuyos homólogos están en el infinito (son impropios). A estas rectas límites también se les identifica como RL y RL’.

La característica o constante de la Homología es un parámetro de la misma, y es igual a la razón doble de la cuaterna formada por dos puntos homólogos A-A’, el centro de la homología C y el punto de corte de la recta A-A’ con el eje.

Casos particulares de la Homología

Una homología en el espacio puede presentar los siguientes casos:

• Caso general (ver figura de arriba)
  • Los planos α y β se cortan (el eje es propio)
  • El centro de la homología es propio
  • Las rectas límites son propias
• Afinidad espacial
  • Los planos α y β se cortan (el eje es propio)
  • El centro de la homología es impropio (dirección de la afinidad)
  • Las rectas límites son impropias
• Homotecia Espacial
  • Los planos α y β no se cortan (el eje es impropio)
  • El centro de la homología es propio (centro de la homotecia)
  • Las rectas límites son impropias
• Traslación espacial
  • Los planos α y β no se cortan (el eje es impropio)
  • El centro de la homología es impropio (dirección de traslación)
  • Las rectas límites son impropias
• Simetría Central Espacial
  • Los planos α y β no se cortan (el eje es impropio)
  • El centro de la homología es propio, y se encuentra a igual distancia de ambos planos (es el centro de la simetría)
  • Las rectas límites son impropias

Teorema de las Tres homologías

Si dos figuras F’ y F’’ son homólogas de una figura original F en homologías del mismo eje y distintos centros O₁ y O₂, dichas figuras son homólogas entre sí, mediante otra homología del mismo eje y con centro O₃, alineado con O₁ y O₂.

Paso de Homología Espacial a Homología Plana

Dos figuras homólogas en el espacio, situadas en dos planos α y β, pueden pasar a ser figuras homólogas en un mismo plano por distintos procedimientos. Este paso de figuras homólogas en el espacio a figuras homólogas en el plano tiene una muy importante aplicación en los sistemas de representación que van a estudiarse en los bloques de geometría descriptiva.

Para comprender este paso, recordemos los elementos del esquema de la homología espacial vista de perfil:

• El plano α contiene a la figura original F1
• El plano β contiene a la figura homóloga F2
• El eje de la homología es E
• Las rectas límites son RL y RL’

En la figura siguiente, hemos definido y añadido un tercer plano, el del papel, y una dirección de proyección. Según esa dirección, obtenemos sobre el papel plano las proyecciones de los diferentes elementos de la homología: Figuras F1′ y F2′, rectas límites RLx y RL’x, eje E’ y centro de homología O’.

Si colocamos el plano del papel en su posición normal (abatiéndolo), vemos que los elementos proyectados siguen cumpliendo las propiedades de la homología: Los vértices de las figuras F1 y F2 están alineados con el centro de la homología O, y sus aristas se cortan en un punto del eje.

Para ilustrar la propiedad de la recta límite, hemos tomado sobre ella un punto M. Por definición, Mº debe estar sobre la recta MC, que hemos trazado. Para encontrarlo, hemos dibujado el segmento que va desde M hasta un vértice de la figura F1, prolongando esta línea hasta el eje. Desde donde toca al eje, hemos lanzado una recta al vértice homólogo en la figura F2, recta cuya prolongación debería tocar a MC en M’. Pero como son paralelas, lo hará en el infinito. O sea, M’ es impropio.

Visto lo anterior, definimos la Homología plana como la transformación geométrica plana biunívoca que relaciona figuras homólogas en un mismo plano mediante las siguientes propiedades:

• Los puntos homólogos están alineados con un punto fijo llamado centro de la homología.
• Las rectas homólogas se cortan en un punto de una recta fija llamada eje de la homología.

Las definiciones de rectas límites y de característica de la homología son las mismas que en la homología espacial:

• Las rectas límites son los lugares geométricos de los puntos cuyos homólogos son impropios.
• La característica de la homología es la razón doble entre el vértice, dos puntos homólogos y el corte de la recta que une a los tres con el eje:

Los elementos identificativos de la homología plana son los mismos que los de la homología espacial:

• El centro de la homología
• El eje de la homología
• Las rectas límites
• La constante o característica

Teorema de Steiner

El Teorema de Steiner dice que dadas dos figuras homólogas en dos planos α y β, si abatimos un plano sobre el otro girando alrededor del eje, y abatimos el centro de homología y la recta límite del plano abatido alrededor de la recta límite del plano fijo, obtenemos una homología plana equivalente a la espacial original. Es otra forma de trasladar al papel la homología espacial, esta vez haciendo coincidir el plano del papel con uno de los planos.

Rectas Límites

Para encontrar las rectas límites, conociendo el centro y el eje de la homología y un par de puntos homólogos, actuamos de la siguiente forma:

• Tomamos un punto cualquiera B y trazamos la recta AB, encontrando también su homóloga A’B’.
• Trazamos la paralela por O a A’B’. Si prolongamos AB obtenemos en esa recta el punto M. El homólogo de M, M’, será impropio (ya que OM es paralela a A’B’). Así que M pertenece a la primera recta límite RL.
• Como se ha visto en las figuras anteriores, ambas rectas límites son paralelas al eje, así que RL es la paralela al eje que pasa por M.
• Para encontrar la otra recta límite, repetimos la operación con la recta homóloga: Trazamos la paralela a O por AB. Si prolongamos A’B’ obtenemos sobre esa recta el punto N’. El homólogo de N’, N, es impropio (ya que ON’ es paralela a AB). Así que N’ pertenece a la segunda recta límite RL’, que también es paralela al eje.

Puede observarse en la izquierda de la figura que la distancia desde el centro de homología hasta la primera recta límite es la misma que desde la segunda recta límite al eje. Además, se cumple que o bien ambas rectas límites son interiores a la distancia O-Eje o bien ambas son exteriores.

Otras propiedades de la Homología

Al igual que ocurre con la afinidad (la afinidad es un caso especial de homología) en la transformación homológica se conservan las tangencias, esto es, la homóloga de una tangente r a una cónica en un punto P es una tangente r’ a la cónica homóloga, tangente a ella en P’, homólogo de P.

En la transformación homológica se conservan las polaridades, propiedad que se aprovecha para la resolución de transformaciones de circunferencias en cónicas, como se verá más adelante.

En el Sistema Diédrico, veremos que existe relación de homología entre la sección obtenida mediante un corte en un prisma o cilindro (afinidad espacial) o en un cono o pirámide (homología espacial) y su base.

El concepto y las construcciones de homología espacial y plana también son usados en la representación de sombras y, sobre todo, en los sistemas de representación perspectivos (de hecho, dos figuras homólogas también se denominan figuras perspectivas).

Construcciones

Para definir una homología plana, nos deben proporcionar los elementos mínimos que nos permitan obtener el centro, el eje y un par de puntos homólogos, lo que después posibilitará el hallar los homólogos del resto de los elementos de la figura, utilizando para ello las aristas de la figura o rectas auxiliares.

En los ejemplos siguientes se describen los procedimientos y las construcciones necesarios para ello.

Ejemplo 1.- Encontrar la homóloga r’ de una recta r, dados el centro C, el Eje y RL’: Trazamos la paralela a r por C. Esta recta corta a RL’ en M’, tal que M es un punto impropio de r. Como r y r’ deben cortarse en el eje, unimos P’ (corte de r y r’ con el eje) con M’ para obtener la solución.

Ejemplo 2.- Encontrar el homólogo de un punto A, dado el centro de la homología C, el Eje y RL’: Sabemos que A’ debe estar en la recta C-A. Tomamos un punto doble cualquiera del eje P-P’ y trazamos la recta A-P, en la cual estará M impropio, homólogo de M’. Uniendo M’ con P’ obtenemos A’.

Ejemplo 3.- Encontrar la homóloga de una recta r paralela al eje, dado el centro C, el Eje y RL’: Como r es paralela al eje, también lo será r’ (ambas se cortan en un punto impropio del eje). Tomamos un punto A en r y una recta AP (P es punto doble del eje). La homóloga de AP, A’P’ (ver métodos anteriores) proporciona A’ en la recta que une O con A.

Ejemplo 4.- Encontrar las rectas límites de una homología, dado el centro C, el Eje y una pareja de puntos homólogos A y A’: Tomamos una recta AP cuya homóloga es A’P’. La paralela a A’P’ por C corta a AP en M, perteneciente a RL. La otra recta limite RL’ puede obtenerse por distancias.

Ejemplo 5.- Encontrar las rectas límites de una homología, dado el centro C, el Eje y una pareja de rectas homólogas r y r’: La construcción es idéntica a la anterior. La paralela a una recta por el centro de homología corta a la otra en un punto de la recta límite.

Ejemplo 6.- Encontrar los elementos de la homología dados tres pares de puntos homólogos A y A’, B y B’ y C y C’: Para encontrar el eje, basta con prolongar dos líneas y sus homólogas hasta que se corten (en la figura, AB y AD). Para encontrar el centro, hay que unir dos pares de puntos homólogos (en la figura, A-A’ y B-B’) Para encontrar RL, hemos trazado por C la paralela a A’D’ y la hemos cortado con AD. Para encontrar RL’, hemos trazado por C la paralela a AD y la hemos cortado con A’D’.

Homología de un Polígono

Para hallar el homólogo de un polígono, basta aplicar las propiedades de la homología plana a sus vértices y aristas. Los siguientes ejemplos son ilustrativos.

Ejemplo 1.- Encontrar el homólogo de un polígono de cinco lados, dados el eje, el centro de la homología O y par de vértices homólogos.

Ejemplo 2.- Encontrar los elementos de la homología que convierte el polígono ABCD en un cuadrado: Si los lados de la figura final serán paralelos, se cortarán en un punto impropio; o sea, los puntos de corte de los lados (dos a dos) en la figura original están en la recta límite. Con esto obtenemos RL. El centro de homología ha de ser un punto desde el cual se vean los lados y las diagonales de la figura final formando entre ellos ángulos rectos. Trazamos el arco capaz de 90º del segmento 1-2 y del 1-3, y donde corten se encuentra el cetro de la homología. Los segmentos O-1 y O-2, perpendiculares, marcarán las direcciones de los lados, y los segmentos O-3 y O-4 las de las diagonales (estos últimos no se han dibujado). Por último, elegimos un eje arbitrario paralelo a la RL encontrada y hallamos los homólogos de A, B, C y D.

En cualquier caso, hay que tener en cuenta que si la recta límite toca o corta a la figura, la homóloga tendrá puntos en el infinito, así que la figura resultante no será cerrada:

• Si la recta límite toca a la figura en un único punto (vértice), la figura homóloga será abierta, ya que tendrá un vértice impropio.
• Si la recta límite corta a la figura dividiéndola en dos partes, la figura final tendrá también dos partes, cada una de ellas con tantos puntos impropios como puntos de contacto tenga la figura con la recta límite.

Ejemplo 3.- Homólogo de un triángulo cortado por la RL: Prolongamos BA hasta llegar a N en el eje. Igualmente, prolongamos CA hasta dar M. Como Q está en RL, Q’ es impropio. MQ’ es la paralela a OQ por M. Como P está en RL, P’ es impropio. NP’ es la paralela a OP por N. El corte de MQ’ y MP’ es A’. Para hallar C’ prolongamos OC hasta tocar a A’C’ (que es MA’). Para hallar B’ prolongamos OB hasta tocar a A’B’ (que es NA’). Obtenemos dos figuras abiertas. Las aristas AB y AC se abren con dos puntos impropios cada una, que se corresponden con P’ y Q’, los homólogos de los puntos de corte de la figura con la recta límite.

Homología de una circunferencia

La homóloga de una circunferencia siempre es una curva cónica, pudiendo presentarse diferentes casos, según la relación de la curva con la recta límite.

En cualquier caso, el centro de la circunferencia no se convierte en el centro de la cónica homóloga.

En una homología se mantienen las correlaciones de polaridad. Como consecuencia, las homólogas de dos rectas conjugadas de la circunferencia (ver capítulo de polaridad) se convertirán en diámetros conjugados de la cónica.

El punto que se va a convertir en centro de la cónica es el polo de la recta límite RL con respecto a la circunferencia.

Si la primera recta límite no corta a la curva, su homóloga es una elipse.

• Tomamos un punto A sobre la RL y trazamos desde él las tangentes a la circunferencia, obteniendo los puntos de tangencia 1 y 2.
• Unimos y prolongamos 1 y 2, obteniendo B sobre RL. Por B trazamos otras dos tangentes a la circunferencia, obteniendo los puntos 3 y 4.
• La cuerda 1-2 se corta con la cuerda 3-4 en el punto C, cuyo homólogo será el centro de la elipse.
• C es el polo de RL con respecto a la circunferencia, y las cuerdas (rectas conjugadas) se convertirán en diámetros conjugados de la elipse.
• Las tangentes se conservan, así que la cónica final será tangente en 1′ en la recta A’1′, a 2′ en la recta A’2′, a 3′ en la recta B’3′ y a 4′ en la recta B’4′.
• B’3′ es paralela a OB (ya que como B pertenece a RL, B’ es impropio). Uniendo O con 3 obtenemos 3′. La recta B’2′ también es paralela a OB por la misma razón. Con ella obtenemos 2′ y C’.
• El resto de puntos puede obtenerse por simetría. En el ejemplo se han trazado también todas las tangentes exteriores homólogas.
• Si desean encontrarse directamente los ejes de la elipse, hay que elegir unas rectas conjugadas apropiadas que proporcionen dos diámetros conjugados perpendiculares. Para ello, se traza la polar de O respecto a la circunferencia, y se halla el punto Q, pie de O con respecto a ella. Se halla la mediatriz de OQ, que corta a la recta límite en un punto desde el que trazamos una circunferencia que pase por O y Q. Esta circunferencia corta en la recta límite en A y B. A partir de aquí, el trazado es el mismo que en la figura anterior.

Si la primera recta límite es tangente a la curva, su homóloga es una parábola (ya que tiene un punto homólogo impropio).

• Como el homólogo de T es impropio, la recta OT determina la dirección del eje de la parábola.
• Trazamos la recta OT, y por O una perpendicular a ella, dando el punto 1.
• Por 1 trazamos la segunda tangente a la circunferencia, dando V. V’ será el vértice de la parábola.
• Prolongamos 1V hasta llegar al eje, en el punto 2.
• Por el punto 2 trazamos la paralela a O1, que contendrá a V’ (lo hallamos uniendo O con V).
• Trazamos el eje a partir de V’ con la dirección OT.
• Para encontrar el foco, trazamos una tangente a la circunferencia por O y la cortamos con la prolongación de V’2, dando el punto 3. Por ese punto 3 trazamos una perpendicular a la tangente (O3) que corta al eje en el foco F.
• Como ejemplo, también se ha hecho el homólogo de un punto A de la circunferencia.

Si la primera recta límite corta a la curva en dos puntos, su homóloga es una hipérbola, y cada una de las partes en que está dividida la circunferencia se convierte en una de las ramas de esa hipérbola.

• Los puntos M y N se convertirán en impropios, y las tangentes a la circunferencia por ellos se convertirán por tanto en las asíntotas (tangentes en puntos impropios). Estas tangentes se cortan en C, que se convertirá en el centro de la hipérbola.
• Trazamos las asíntotas y C’, para cual nos hemos ayudado de RL’.
• Las bisectrices de las asíntotas son los ejes.
• Si hallamos los homólogos de los ejes, uno de ellos corta a la circunferencia en los puntos A y B, que se convertirán en los vértices de la hipérbola.
• Con estos elementos podemos obtener los focos, sabiendo que el corte de la circunferencia principal con las asíntotas está en una circunferencia cuyo diámetro es la recta que une el centro con un foco. En el ejemplo no se han indicado, ya que quedaban fuera del dibujo.