Paralelismo

El paralelismo es una relación que se establece entre entes geométricos de dimensión mayor o igual a uno, esto es, las rectas y los planos (de hecho, también de otro tipo de objetos cuyo estudio no abarca esta obra).

Los objetos paralelos (recta a recta, recta a plano o plano a plano) son equidistantes, y nunca se tocan por más que los prolonguemos.

Como se verá en el enunciado de los axiomas fundamentales, dos objetos paralelos de cualquier tipo no comparten ningún punto.

Perpendicularidad

La perpendicularidad se da entre dos objetos geométricos que se cortan formando un ángulo recto (de 90º). Dos rectas pueden ser perpendiculares entre sí, una recta puede ser perpendicular a un plano, y dos planos pueden ser perpendiculares entre sí.

La perpendicularidad es muy útil en el estudio de las distancias, ya que la dirección perpendicular es la que define la mínima distancia entre dos objetos (entre punto y recta, entre punto y plano, entre recta y plano, entre dos rectas y entre dos planos), como se detalla en el capítulo de axiomas fundamentales.

En los trazados, el ángulo recto suele indicarse, entre otras formas, dibujando un punto dentro del arco que indica la apertura del mismo.

Distancia

En geometría, la distancia entre dos objetos (puntos, rectas, planos) es la longitud del segmento recto más corto que puede unirlos. Naturalmente, si dos objetos se cortan no existe distancia entre ellos.

Para localizar esos segmentos siempre se usan direcciones perpendiculares, como se explica en el capítulo de axiomas fundamentales.

Construcciones básicas

Perpendicular a una recta r por P, uno de sus puntos

Trazamos un arco con centro en ese punto, que corta a la recta en otros dos, extremos de un segmento. La mediatriz de ese segmento es la solución buscada.

Perpendicular a una recta r por un punto exterior P

Por el punto se traza un arco que corta a la recta en dos puntos, extremos de un segmento. La mediatriz de ese segmento es la solución buscada.

Perpendicular a un segmento r por su extremo P

Método 1: Con centro en P, trazamos un arco que corta al segmento en A. Con centro en A trazamos otro arco de igual radio que cortará al anterior en B. Con centro en B trazamos un tercer arco que nos da el punto C, y con centro en C un cuarto arco que proporciona el punto D. La perpendicular buscada pasa por D.

Método 2: Encontramos los puntos A y B igual que en el método anterior. Con centro en B, trazamos un arco que pase por A. Prolongamos AB hasta cortar este arco en D. La perpendicular buscada pasa por D.

Método 3: Elegimos un punto cualquiera B exterior a la recta y trazamos con centro en él un arco que pase por P, que cortará a la recta en A. La prolongación de AB corta a ese arco en D. La perpendicular buscada pasa por D.

Paralela a una recta por un punto exterior

Elegimos un punto cualquiera A de la recta y trazamos un arco con centro en él y que pase por P. Este arco da B y C sobre la recta. Tomamos la distancia CP y la llevamos sobre B, dando el punto D. La recta DP es paralela a la dada.

Paralela a una recta a una distancia dada

Basta con trazar una perpendicular a la recta (ver figuras anteriores) y sobre ella llevar la distancia deseada a un punto. Luego, aplicar la construcción de la paralela a una recta por un punto exterior.

Trazado de paralelas y perpendiculares con la escuadra y el cartabón

La escuadra tiene dos ángulos de 45º y el cartabón uno de 30º y otro de 60º. Girándolos y deslizándolos uno sobre otro adecuadamente podemos trazar perpendiculares y paralelas, así como rectas que formen ángulos múltiplos y divisiones de estos ángulos (ver capítulo de ángulos).