Potencia de un punto respecto de una circunferencia

Si trazamos secantes desde un mismo punto hacia una circunferencia, puede demostrarse que los productos de los segmentos que forman dicho punto con los dos puntos de corte en la circunferencia son constantes.

A este valor constante se le denomina potencia del punto P respecto a la circunferencia.

Esta constante también se cumple para las rectas secantes en los puntos extremos, eso es, las tangentes exteriores. En este caso, se dice que el polo, el centro de la circunferencia y los puntos de tangencia forman una cuaterna armónica.

Si el punto P es interior a la circunferencia, el valor de la potencia es negativo (los segmentos tienen distinto sentido).

También puede deducirse fácilmente que los puntos del contorno de la circunferencia tienen potencia cero con respecto a ella misma.

Eje radical

El eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos del plano que tienen igual potencia con respecto a ambas. Este lugar es una recta que debe ser perpendicular a la recta que une los centros de las dos circunferencias.

Si las circunferencias son secantes, basta unir los dos puntos de corte (que tienen potencia cero para ambas).Si las circunferencias son tangentes, el eje radical pasa por el punto de tangencia. Si las circunferencias son exteriores, basta con trazar una tercera que corte a ambas. Luego se trazan los ejes radicales de ésta con respecto a las otras dos. Estos dos ejes radicales se cortan en un punto del eje radical de las dos primeras.

Centro radical

El centro radical de tres circunferencias es el punto del plano que tiene igual potencia para las tres circunferencias. Se halla cortando dos ejes radicales tomando de dos en dos las circunferencias.

Polar de un punto P y una circunferencia

La recta polar de un punto P (que se denomina polo) y una circunferencia de centro O (también llamada circulo director) es el eje radical de esa circunferencia y otra cuyo diámetro es PO.

Otra forma de determinar la polar es:

• Trazar dos secantes PAB y PCD
• Unir A con C y B con D para obtener el punto E
• Unir A con D y B con C para obtener el punto F
• La polar es la recta EF

Una tercera forma es la siguiente (figura abajo centro):

• Trazar la recta OP
• Trazar dos secantes simétricas a OP
• Unir los puntos de corte opuestos, dando el punto F en OP
• La perpendicular a OP por F es la polar

Si el polo P es interior al círculo director, la polar es una recta exterior a éste. Si el polo pertenece al contorno del círculo director, la polar es la tangente al círculo director por el polo.

Si tenemos la polar y el círculo director, puede calcularse el polo:

• Si la polar corta al círculo director (en A y B), las tangentes al círculo por A y B se cortan en el polo P.
• Si la polar no corta al círculo, se dibuja la perpendicular a ella por O, dando el punto A. La circunferencia de diámetro AO corta al círculo director en B y C. Uniendo B y C obtenemos el polo P sobre OA.

Si tenemos la polar y el polo, y nos dan un punto N por el que pasa el círculo director, para encontrarlo operamos de la siguiente forma:

• Trazamos la perpendicular a la polar por el polo. El centro del círculo director está en ella.
• Unimos N con P prolongando hasta obtener C en la polar.
• Dibujamos la circunferencia de diámetro CP
• Trazamos la tangente a ella por N, dando el punto E
• Trazamos la perpendicular a NC por E, dando el punto F
• Trazamos la mediatriz de NF, dando O sobre la perpendicular por P a la polar. O es el centro del círculo director buscado