Proyecciones de una Recta

Las rectas se designan con una letra minúscula (r, s, t… en las figuras).

De forma análoga a los puntos, sus proyecciones se denominan con la misma letra seguida de un subíndice 1 (para la proyección horizontal), 2 (para la vertical) ó 3 (si existe proyección lateral).

Puede comprobarse que las proyecciones de una recta no son más que la unión de las proyecciones de todos sus puntos.

Trazas de la Recta

Las trazas de una recta son los puntos de corte de esa recta (las intersecciones) con los planos H y V.

La traza vertical, que estará en V, tendrá alejamiento nulo, y, visto el capítulo anterior referido al punto, su posición se determina partiendo del punto de corte de la proyección horizontal de la recta (r₁) con la LT, trazando una perpendicular a ella hasta que toque a la proyección vertical (r₂).

Análogamente, la traza horizontal tendrá cota nula, y su posición se determina partiendo del punto de corte de la proyección vertical de la recta (r₂) con LT, trazando una perpendicular a LT hasta que toque a la proyección horizontal (r₁).

Las trazas de la recta se designan con las letras H y V a las que se añade como subíndice la letra minúscula que identifica a la recta (Hr y Vr). De la traza horizontal (Hr) únicamente nos interesa su alejamiento, ya que su cota es cero, y de la vertical (Vr) únicamente nos interesa su cota, ya que su alejamiento es cero.

Cuando se representa una recta (mediante sus proyecciones) hay que tener en cuenta que lo habitual es representar únicamente un segmento de la misma, delimitado por dos puntos que son los extremos de dicho segmento. Si necesitamos representar más extensión de la recta bastará con alargar las proyecciones dibujadas más allá de esos puntos hasta donde nos interese.

Si estamos representando cuerpos o poliedros con aristas rectas (como se verá en los capítulos siguientes), únicamente deberemos trazar los segmentos correspondientes a dichas aristas, respetando la forma de representar su visibilidad, siguiendo las reglas que se explican en este mismo capítulo.

Pertenencia de un punto a una recta

Como se ha dicho antes, las proyecciones de una recta no son más que la unión de las proyecciones de sus puntos. Así, es evidente que si un punto pertenece a una recta, las proyecciones del punto estarán situadas sobre las proyecciones de la recta.

Intersección entre dos rectas

Si dos rectas se cortan (y, por tanto, están en el mismo plano) habrá un punto de corte (A en el ejemplo) que, por pertenecer a las dos rectas, tendrá sus proyecciones sobre las proyecciones de ambas rectas.

De esta forma, si los puntos de corte de las proyecciones de las dos rectas están en la misma perpendicular a la LT, esas rectas se cortarán en el espacio y serán coplanarias (figura de la izquierda). En caso contrario (figura de la derecha), las rectas se cruzarán en el espacio y no serán coplanarias.

Rectas Paralelas

Si dos rectas son paralelas, también son paralelas sus proyecciones dos a dos. Es una de las propiedades básicas de la proyección cilíndrica.

Intersección de una recta con el primer bisector

Todos los puntos del primer bisector (BI) tienen igual cota que alejamiento (ya que este plano forma 45º con el plano H). Así, el punto de corte de cualquier recta con el primer bisector tiene también iguales cota y alejamiento. Además, los puntos del BI también cumplen que su cota y su alejamiento tienen siempre igual signo (ya que BI cruza los diedros 1º y 3º). 

Por tanto, dadas las proyecciones de la recta, para encontrar su intersección con el BI basta encontrar un punto de la misma que tenga iguales cota y alejamiento y además del mismo signo (una proyección a cada lado de la LT). Podemos hacerlo aplicando una simetría a cualquiera de las proyecciones con respecto a la LT.

Intersección de una recta con el Segundo Bisector

Los puntos del segundo bisector (BII) tienen cota y alejamiento iguales en módulo, pero de signo dife-rente. En el punto de corte de la recta con BII, las proyecciones en el papel quedarán ambas coincidentes en un mismo punto, al mismo lado de la LT.

Este punto puede por tanto obtenerse prolongando las proyecciones de la recta hasta que se corten.

Representación de partes vistas y ocultas

Cuando se representan rectas – y por extensión cualquier arista de cualquier figura que representemos en el sistema diédrico – se considera que para el espectador solo es visible lo que está en el primer diedro, debiendo representarse las partes que estén en el resto del espacio (2º, 3º y 4º diedros) con líneas ocultas (de trazos).

Para discernir qué partes de la recta están en cada diedro, basta con conocer sus trazas (las intersecciones de la recta con los planos H y V). En el ejemplo siguiente, la recta pasa, en este orden, por el 1º, el 4º y el 3º diedros.

Alfabeto de la Recta

El Alfabeto de la recta es la relación de las posibles posiciones que una recta puede tomar en el espa-cio con respecto a los planos de proyección, a los bisectores y a la LT.

Rectas perpendiculares a los planos de proyección: Recta Vertical y Recta De Punta

En las rectas perpendiculares a los planos de proyección H y V, una de las proyecciones es un punto, y la otra una recta perpendicular a la línea de tierra.

La recta perpendicular al plano V se denomina de punta (r, en la figura) y la perpendicular al plano H se denomina vertical (s, en la figura).

Rectas paralelas a la Línea de Tierra

Las rectas paralelas a la línea de tierra no poseen trazas, ya que no cortan a ninguno de los planos de proyección. Sus dos proyecciones son también paralelas a la LT.

Rectas paralelas a los planos de proyección: Recta Horizontal y Recta Frontal

Las rectas paralelas a los planos de proyección solo tienen una traza (solo se cortan con un plano de proyección).

En la recta horizontal o paralela a H (r, en la figura) no existe traza horizontal, y la proyección vertical es paralela a la LT.

En la recta frontal o paralela a V (s, en la figura) no existe traza vertical, y la proyección horizontal es paralela a la LT.

Rectas oblicuas que pasan por 3 diedros

Las rectas oblicuas a los planos de proyección que pasan por 3 diedros poseen dos trazas, y sus pro-yecciones visibles son las que corresponden al primer diedro. En la figura de la derecha, se muestra qué secto-res de la recta corresponden a cada diedro (solo el tramo que discurre por el primer diedro se dibuja con línea continua).

Rectas oblicuas que pasan por 2 diedros (cortan a la LT)

En las rectas oblicuas a los planos de proyección que pasan por 2 diedros (y que, por tanto, cortan a la LT) sus dos trazas coinciden ambas en la LT, así que sus proyecciones se cortan en la LT. En la figura, r discurre por el 1º y 3º diedros. Se dibuja con línea continua únicamente el tramo del primer diedro.

Rectas paralelas al Primer Bisector

Hemos visto que cualquier punto del BI tiene iguales cota y alejamiento, y además de igual signo. Si aplicamos esto a dos puntos cualesquiera del BI, veremos que las proyecciones de la recta que los contiene forman el mismo ángulo con la LT. De esto se deduce que en las rectas paralelas al primer bisector (y por tanto a una recta perteneciente a él) las proyecciones forman ángulos opuestos con la LT.

Rectas paralelas al Segundo Bisector

Los puntos del BII tienen iguales cota y alejamiento, pero distinto signo, por lo que sus proyecciones horizontal y vertical coinciden en el papel. Por lo tanto, las dos proyecciones de una recta perteneciente al BII también coincidirán. Esto hace deducir que las dos proyecciones de una recta paralela al BII (y por tanto a una recta perteneciente a él) son paralelas.

Rectas de perfil

Las rectas de perfil son las que están situadas en planos de perfil (perpendiculares a los planos V y H a la vez). Sus dos proyecciones coinciden en una misma línea sobre el papel (perpendicular a la línea de tierra), así que necesitan al menos indicar explícitamente dos puntos (preferentemente, las trazas) para definirse inequívocamente.

Para trabajar con este tipo de rectas, normalmente se hace uso de una vista adicional de perfil. En la figura se representan cuatro rectas r, s, t y u, cuyas proyecciones son similares, y que vienen definidas inequívocamente por sus trazas. Apreciamos mejor su verdadera posición con ayuda de esta vista de perfil. Nótese que en las proyecciones se han dibujado con líneas de trazos los tramos de línea que no discurren por el primer diedro.

Longitud de un segmento

La verdadera longitud de un segmento puede encontrarse a partir de las proyecciones del mismo, construyendo uno de estos dos triángulos rectángulos:

• Uno en el cual un cateto es la proyección vertical y el otro cateto es la diferencia de alejamientos entre los extremos del segmento.
• Uno en el cual un cateto es la proyección horizontal y el otro cateto es la diferencia de cota entre los extremos del segmento.

En ambos casos, la verdadera longitud del segmento (y por tanto, la distancia real entre los dos puntos) es la hipotenusa de esos triángulos.

Cuando lleguemos al capítulo de giros, veremos que un giro que coloca un segmento en posición horizontal o frontal también permite obtener su verdadera longitud.