Descripción y Elementos

Una pirámide es un poliedro en el que varias caras triangulares (al menos 3) confluyen en un vértice principal o ápice (también se le denomina vértice principal o únicamente vértice), y que tienen todas ellas un lado en común con un polígono que se denomina base.

Las caras triangulares que confluyen en el ápice o vértice principal se denominan caras laterales, y las aristas que confluyen en el ápice son las aristas laterales. Las aristas de la base son las llamadas aristas básicas. La altura de la pirámide es la distancia que hay entre el vértice principal y el plano de la base.

Si la base es un polígono regular, la pirámide se denomina regular. Si además el ápice se encuentra en la perpendicular a la base por su centro, la pirámide se denomina recta (en caso contrario, es una pirámide oblicua).

En una pirámide regular recta, las caras laterales son triángulos isósceles.

Plano rasante

Se denomina plano rasante a una pirámide a aquel que contiene a una arista lateral (y por tanto también contiene al ápice).

Sección plana

Cuando una pirámide apoyada por su base en el plano H es cortada por un plano, existe una relación de homología espacial entre la base y la sección obtenida. En esa homología el centro es el vértice principal de la pirámide, y el eje es la traza del plano que la corta. Usando esta relación geométrica es fácil obtener los homólogos de los vértices de la base para obtener los vértices de la sección.

Si el plano que corta a la pirámide es horizontal, frontal o proyectante, una de las proyecciones de la sección puede obtenerse fácilmente cortando las proyecciones de las aristas con la traza del plano que corresponda.

Una pirámide truncada es la parte de la pirámide limitada por la base y una sección producida por un plano.

Si el plano que corta a la pirámide es oblicuo, también es posible hacer un cambio de plano vertical para convertirlo en proyectante vertical. Una vez transformado, realizamos el corte y aplicamos el cambio de plano inverso a los puntos de la sección (se ilustra en uno de los ejercicios).

Corte con una recta

Para resolver el corte de una pirámide con una recta se sigue el procedimiento descrito en el caso del tetraedro y el cubo, esto es, elegir un plano proyectante que corte a la figura en un polígono, y la intersección de este polígono con la recta es la solución buscada.

Pero, igual que en los casos anteriores, existe una solución algo más simple si la pirámide está apoyada en el plano H, que consiste en elegir como plano auxiliar aquél que contiene a la recta y al ápice de la pirámide. Al cortar este plano con la pirámide se obtendrá un triángulo, que a su vez, al cortarlo con la recta (con la que es coplanaria), dará los dos puntos de la solución, que se suelen denominar como punto de entrada y punto de salida. Para encontrar este triángulo bastará cortar la traza horizontal del plano auxiliar con la base de la pirámide.

Desarrollo, Transformada de la Sección y Geodésica

El desarrollo de una pirámide suele hacerse dibujando las caras laterales en verdadera magnitud adosadas por las aristas laterales, y dibujando la base adosada a una de ellas.

Para trazar la transformada de la sección basta con encontrar la posición de los puntos de corte del plano con las aristas laterales. Como todas las aristas laterales parten del mismo punto (el ápice), para representarlas en verdadera magnitud es más cómodo hacerlo mediante un giro alrededor de un eje vertical que pase por dicho ápice.

En el siguiente ejemplo, se ha desarrollado una pirámide oblicua. Para encontrar las caras laterales (triángulos escalenos), se han girado todas las aristas laterales alrededor de un eje vertical que pasa por el vértice principal, hasta colocarlas frontales (y por lo tanto, mostrando su verdadera longitud). Se han usado esas mismas rectas frontales para encontrar en ellas los puntos de la sección y poder trasladarlos al desarrollo.

La geodésica se define como el camino más corto que une dos puntos de una superficie cualquiera. Cuando se resuelven problemas de intersección de figuras con una recta, es habitual que tengamos que encontrar la geodésica que une los puntos de entrada y salida. Para ello, localizamos ambos puntos en el desarrollo y los unimos mediante una recta (la recta es el camino más corto entre dos puntos). Esta recta es la geodésica, y para representarla en las proyecciones de la figura deberemos pasar a ellas los puntos donde la geodésica corta a las aristas de la figura. Para resolver correctamente una geodésica, debemos planificar previamente el desarrollo dibujado, ya que deberíamos poner lo más cercanas posibles las caras que contienen los puntos de entrada y de salida. Todo esto se ilustra en los ejercicios propuestos.